艾薛爾的「藝數」新視界 四部曲 1＋1≠2

艾薛爾的「藝數」新視界  四部曲 

            1＋1≠2      彭良禎  

     

「兩個正立方體」的組合，如何只等於一個正立方體？

透過二分之一的特殊分割與「百變方塊」的巧妙結構，

數學上的真理，也可以有另類的趣味呈現哦！

（圖一）艾薛爾〈瀑布〉版畫中出現的菱形十二星體（攝自拼圖）

除了第94期三部曲〈立體幻化〉介紹的「三合一立方體」，艾薛爾在其〈瀑布〉作品中，另擺設了一個造型獨特的「菱形十二星體」（圖一）。顧名思義，菱形十二星體就是從「菱形十二面體」各面凸出四角錐後所得的星體造型，究竟其妙如何，且讓本文帶您欣賞。

The world of puzzle

（圖二）坊間販售的菱形十二星體puzzle

觀察圖二各種大小、材質的菱形十二星體益智玩具，其玩法實有兩款設計，每一款的零件皆為6支。第一款的零件區分為三種，玩法與「魯班鎖」雷同，但是解法較為簡單、直接。組合前，先將三種零件依其1、2、3支的數量分成A、B、C三種（圖三），然後再依C、B、A的順序拼組零件，便可完成星體。此puzzle的設計有助於小朋友「依樣畫葫蘆」的觀察與學習。

（圖三）菱形十二星體puzzle的第一代設計：6支零件分為A、B、C三種（由下而上）

DIY親體驗

第二款的設計源自第一款，只是將原來的A、B、C三種零件，全部都改用零件C。不過，此一構造上的改良，卻造成解答上的斷層，拼組時，必須將6支零件C分成順時針與逆時針方向的三三組合（圖四），才有辦法咬合鑲組成星體，這種天外飛來一筆的解答，或許就是puzzle的「謎人」之處。

（圖四）菱形十二星體第二代puzzle的解答關鍵：順、逆時針方向的鑲咬

本文尾頁解答處附有零件C的展開圖，由於紙張的彈性與韌度，當利用展開圖製成的6支零件C拼組第二代puzzle時，除了天外天的唯一解答，還可以用「暴力法」直接完成，此一意外解，也算是對玩家觀察能力的立即肯定。試試看，puzzle之樂讓您親體驗。

「看」出全世界

圖五是菱形十二星體三種不同角度的結構呈現，從上述的puzzle零件設計，不難察知其中包含不少「共平面」的三角形。若從結構上細分，菱形十二星體實可分割成24個四角錐，而每6個四角錐可自行組成一個正立方體，也就是說，這些四角錐的結構，就是從正方體的中心點，向各面正方形所分割出來的金字塔。因此，當把金字塔按照x軸、y軸、z軸的方向，如同積木般組合時，「共平面」的現象只要用「看」的，便可一目了然。至於金字塔上三角形的邊長比例，也請讀者多「看」幾眼囉！（詳見解答一）

 

（圖五）菱形十二星體的三種觀察角度

1＋1≠2

認識了菱形十二星體的基礎元件之後，接下來將這24個金字塔三三分組，且各以每組零件的正方形兩兩相接，黏成8個「二分之一Cube」。當這8個新元件彼此以正方形面堆砌時，便可組成菱形十二星體。若再準備另外8個新元件，還可將原星體外包成一個大的立方體，此時，若與「百變方塊」的膠帶黏貼設計相搭配（詳見解答二），便可得「1＋1≠2」的趣味玩具。

「1＋1≠2」內外兩套元件的黏貼結構完全一致，分開時，兩者皆可外翻成空心的大立方體，或是內翻成菱形十二星體。所謂「1＋1≠2」的趣味在於：先秀出一加一兩個空心的大立方體，然後將其一內翻成星體後，包入另一個空心的大立方體（圖六），結果就是不等於二，而當內外兩套元件不分開時，便是一個「百變方塊」。解答處附有「二分之一Cube」的展開圖，顛覆真理的巧妙與樂趣，等您動手DIY！

 （圖六）「1＋1≠2」的趣味設計

IQ、EQ run一「夏」

菱形十二星體的零件既與立方體有關，其填滿空間的組合設計便不難處理，坊間還可見其繁複的玩家級puzzle變化（圖七）。保險的玩法是安排攝影機，將拆解步驟一步步拍攝存檔，然後才自行挑戰組合，免得萬一組裝不成時，只剩下一堆廉價的木條。至於玩法相同，僅是造型經過延伸變化的puzzle設計（圖八），其結構就請讀者多多觀察囉！（詳見解答三）

動動眼、動動腦 & 動動手，就讓今年暑假Math一「夏」吧！

（圖七）菱形十二星體puzzle的玩家級的變化

（圖八）菱形十二星體第二代puzzle（右）
                        與其「換湯不換藥」的造型變化（左）

【解答】

一、該三角形為等腰三角形，「底」為正立方體的邊長，「腰」為正立方體對角線長的一半，因此，金字塔上三角形的邊長比為2：：。

二、有關百變方塊與菱形十二面體的介紹，可參閱本刊第56、68期〈童玩D I Y〉之系列文章。若將百變方塊的正面與其上、下、左、右各面同時展開在同一平面上，則其膠帶的黏貼位置如圖a的橢圓形位置所示。

           

                                                                            （a）

三、該puzzle的零件是將原來共平面的三角形再擴充延伸，最後形成角柱的結構。

  

               附圖一、零件C的展開圖        附圖二、「1＋1≠2」單元零件的展開圖

【「1＋1≠2」另一簡便的DIY步驟】

（1）    製作完成16個零件（參考附圖二）。

（2）    先取8個零件，每4個零件各排成半顆星體。

（3）    將排好的兩組半顆星體併排平放在桌面上（圖b）。

（4）    剪好8段膠帶（膠帶長度≦正方形邊長）。

（5）    依圖c箭頭所示的對應位置分別將零件兩兩黏貼。

（6）    將另外8個零件依步驟（2）至（5）複製（The End）。

【DIY小叮嚀】

（1）    實線（山線）往下摺、虛線（谷線）往上摺。

（2）    黏貼膠帶時，各零件之間宜保留適當的空隙作緩衝，以便翻轉順暢。

（3）    黏貼邊的正反兩面都應貼上膠帶，方能牢固耐玩。