艾薛爾的「藝數」新視界三部曲 立體幻化

艾薛爾的「藝數」新視界  三部曲 
立體幻化    彭良禎   

日常生活中，處處可見立方體結構的藝術設計，

艾薛爾在其3D vs.2D的創作中，亦展現出複合立方體的另一美感。

       在多面體的世界中，正立方體是大家都不陌生的造型，然而，即使是最熟悉的事物，只需花點巧思，照樣可以有豐富的藝「數」展現。就讓正立方體帶你欣賞立體幻化的美妙世界。

名不「正」、言不順？

關於正立方體的名稱，有人叫「立方體」，也有人稱「正方體」，即使是英文，也有cube、six-sided body、hexahedron（正六面體）等不同的稱呼。若真的要錙銖必較，則「立方體」一詞或許源自其體積的計算（邊長的「立方」），而「正方體」一詞應該來自平面的正方「形」。不過，兩種稱呼也可能都是全名「正立方體」的簡稱。總之，不論是否有具體的意像連結，在名稱上，其實都無須庸人自擾，因為「攏ㄟ通」！

公共藝術cube、cube、cube！

正立方體簡單卻不失美感，因此，常常成為藝術創作的題材。在台北市忠孝東路四段的社區公園裡，可見魔術方塊般的庭園佈置（圖一），至於宜蘭冬山河的馬賽克涼亭（圖二），造型新穎的設計靈感，想必亦出自正立方體的點、線、面。

                    

（圖一）春光公園的景觀設計   

  

                               

                                                          （圖二）親水公園的涼亭頂蓋

來到國外，前衛的正立方體分子模型，也可以是1958年，在比利時首都布魯塞爾舉辦的世界博覽會的大地標（圖片請上網查詢「原子球塔」），至於建築師設計建造的方塊屋社區（圖三），還可搖身變成荷蘭鹿特丹的觀光勝地。欣賞之餘，讀者或已發現種種設計的共通「點」，就是擺脫方方正正的穩定感，改以頂點來立足，秀出正立方體那種不穩定的動態美。  

         （圖三）Cubic House（翻拍自成龍電影《我是誰》）

三合一立方體

除了常見的以特殊角度秀出正立方體的美感，在艾薛爾的〈瀑布〉作品中，還可發現正立方體的複合之美（圖四）。究竟該立體所包含的三個正立方體在哪兒？讀者可循圖五的脈絡欣賞之。圖六是該立體其他角度的呈現，有興趣，不妨挑戰其展開圖，透過DIY，將之跳脫2D，躍然紙上（解答詳見本刊尾頁）。完成後，記得與圖七的花燈造型一同觀察，比較兩者的異同。（詳見解答二）

（圖四）艾薛爾〈瀑布〉版畫中出現「三合一立方體」的結構（攝自拼圖）

        


     （1）一個正立方體          （2）兩個正立方體嵌組        （3）三個正立方體嵌組

（圖五）「三合一立方體」的嵌組圖

                           （1）向右低一點的觀察         （2）向右高一點的觀察

（圖六）以〈瀑布〉所見的角度為基準          

（圖七）從「四合一立方體」變化而來的花燈造型

幾何與代數之美

鑑賞完正立方體的藝數之美，接下來動動腦：在圖一魔術方塊般的公共藝術中，可以看出幾個正立方體？當讀者面對這一類「數量可多可少」的問題時，在掐指數算之前，需清楚問題的對象實際包含了大中小不同邊長的立方體。如何找出一個簡化的類推系統？以下兩個熱身的小問題，請先思考。（詳見解答三）

Q1：在圖8-1的a-b-c-d-e線段中，可以找出幾條線段？

Q 2：在圖8-2的棋盤方格中，可以找出幾個正方形？

                         （8-1）                                                                    （8-2）

藝數之美不遠求

從以上一度空間的4¹＋3¹＋2¹＋1¹、二度空間的4²＋3²＋2²＋1²到三度空間的4³＋3³＋2³＋1³同類型問題的剖析可知，「加起來的答案是多少」已不重要，怎麼簡化、怎麼分析的過程，以及最後猜測推廣到n度空間的4ⁿ＋3ⁿ＋2ⁿ＋1ⁿ的那種數學美感，相信才是啟發小朋友學習的重點。藝數之美不遠求，一切都從「簡單」開始。

【解答】

一、若將「三合一立方體」視為「六面體」（如圖六-1），則其單一元件的展開圖如圖a，當組成圖b之後，「三合一立方體」便可一體成型。製作時，虛線往上摺（谷線），實線往下摺（山線）。      

                                    圖a                                                    圖b

二、圖七的花燈造型（另參閱本刊91期〈童心「圓」賀新春（下）〉介紹的泰國主題花燈）是在「三合一立方體」的基礎上，外加一個正立方體（圖c），並將各面凹陷處填滿所得的設計，「四合一立方體」的元件及其充填體的展開圖分別如圖d、e，請讀者試試。

                圖c                                              圖d                                           圖e

三、A1：特別注意線段a-b-c-d-e上，存在長度不同的線段：

邊長一單位的線段有a-b、b-c、c-d、d-e四段；

邊長二單位的線段有a-c、b-d、c-e三段；

邊長三單位的線段有a-d、b-e二段；

邊長四單位的線段有a-e一段；

總共有4＋3＋2＋1段。

A2：方形或方體亦存在不同邊長的元件：

邊長一、二、三、四單位的正方形分別有16、9、4、1個；

邊長一、二、三、四單位的正立方體分別有64、27、8、1個。

綜合以上的結果，可感覺到如下的簡單規律：

線段：4＋3＋2＋1＝4¹＋3¹＋2¹＋1¹；

方形：4×4＋3×3＋2×2＋1×1＝4²＋3²＋2²＋1²；

方體：4×4×4＋3×3×3＋2×2×2＋1×1×1＝4³＋3³＋2³＋1³。