艾薛爾的「藝數」新視界五部曲
Möbius 彭良禎
國小的教室佈置如何成為大學殿堂裡的趣味入門？
在艾薛爾的「藝數」天地裡，所有的神奇奧妙全都畫！
小時「扣」環大時「拓」
記得國小低年級時，每逢開學的教室佈置，老師總要全班同學回家蒐集各式各樣的包裝紙。當老師裁成同寬的紙條後，所有的小朋友便一起幫忙黏貼，有些黏成紙環，彼此如鏈條般環環相扣，有些則逕自黏成更長的紙條，然後頭尾隨意地扭轉幾圈。當各紙串或紙條的兩端懸掛在公佈欄或氣窗上時，一個光鮮亮麗、五彩繽紛的彩虹教室已然完成。長大後，把這些教室佈置的動作「相加除二」時，竟成了大學數學中，拓樸學的一個趣味起點（圖一）。
面面俱到新體驗
一張長紙條原本有正反兩個面，黏成一個環柱之後，也還是有內外兩個面，但是，若先將一端翻轉180°才黏貼，則其結果將出人意料。這類紙環的相關研究首在德國數學家莫比爾斯（A. F. Möbius1790~1868）的遺稿中被發現，故後世皆尊稱為莫比爾斯帶（Möbius Band）或莫比爾斯環（以下簡稱莫氏環）。究竟此環有何巧妙？請備妥下列道具一同來體驗。
器材：長尺、剪刀、透明膠帶、彩色筆（紅、黑各一）、40 ×6公分的紙條數條。
步驟：1）取一紙條，用尺與紅筆在正反面中央各劃一條長虛線，並以O、X在虛線兩端畫上正反面的識別記號（圖二a）。
2）將紙條右端翻轉180°後讓正面的OO與反面的XX相鄰，然後用透明膠帶黏成紙環（圖二b）。
（圖二a）在紙條的兩面劃虛線並作記號
（圖二b）一端翻轉180°後黏成紙環
操作：a）從黏接處開始，用黑筆將紅虛線改畫成實線，一直畫到起點止。
b）從黏接處開始，用剪刀沿著黑實線剪開，一直剪到起點止。
觀察：a）普通的紙環只能用黑筆在其外側或內側腰部畫一圈黑實線，但是莫氏環的這一圈黑實線卻「循環兩面」，也就是說，莫氏環上異常地只有一個面，且其長度是原來紙條的兩倍。
b）普通的紙環從腰部剪開後，會分開成兩個較窄的紙環，然而，莫氏環剪開後，卻意外地變成一個更大更窄的紙環，而且是一端翻轉720°、有兩面的大環。
「兩面一體」全都用
莫氏環「只有一個循環面」的拓樸學理論雖然讓人倍感意外，卻絲毫不減其實用價值。一般機具內部馬達的傳輸皮帶都只靠一面來傳動，當皮帶磨損或彈性疲乏時，便直接汰換。然而，對於一些大型機具而言，時常汰換的成本過高，因此，工程師便利用莫氏環這種「內外面合一」的特性，讓「兩面」同時循環。如此不僅可延緩皮帶磨損汰換的期程，還可避免皮帶因內外受力不均而彈性疲乏。至於其真實景象，讀者或可在《The Land Girls大地的女孩》電影中，約在影片播放到21分鐘附近時，一睹大型農具莫氏環傳輸帶的風采。
科普教育上層樓
除了實用性，莫氏環也讓科學家著迷。位在台中自然科學博物館南方的□□路口上，一個面部彩繪科博館Logo的「科學人」正手足舞蹈地搖著呼拉圈（圖三），值得注意的是，呼拉圈上還特地放著一顆鋼球，如果鋼球順著呼拉圈的溝軌滾呀滾地，其結果就與上述觀察a中「黑筆畫線」的操作一樣，所以這個呼拉圈別無其他，就是百分百的莫氏環。
（圖三）莫氏環化身成台中科博館標誌「科學人」腰上的呼拉圈
記得在國三的畢業旅行途中，筆者曾見科博館內以燈泡閃滅的動態設計，來突顯莫氏環「一個面」的循環特性，十五年後見此一大型雕塑的設置，也算是一種境界的提升與進步。至於遷館後的科學教育館，則是將莫氏環的設計化作火車軌道，此種模擬雲霄飛車的構想也堪稱一絕。
本「莫」倒置蟻乾坤
莫氏環如此另類的展現亦不乏藝術家的青睞，在新莊市公所的大門旁，便豎立著「扭轉乾坤」的公共藝術（圖四），雕塑家用循環不已的莫氏環取代象徵生生不息的太極流動圖案，其構想頗有新意。至於擅長操弄「空間變幻」的荷蘭版畫藝術家艾薛爾，則是直接將莫氏環當成作品主角（圖五），同時還貼心地將螞蟻刻畫其中，真是「畫中有話」。請仔細觀察並數數看，該隊螞蟻雄兵總共有幾隻？（解答詳見本刊尾頁）
（圖四）流線型的莫氏環成了公共藝術的創作取材（攝於新莊）
（圖五）Band
van Möbius II（Moebius Band II，1963，木版畫，45 ×20 cm，攝自畫冊）
騎士無雙黑白影
艾薛爾早年還有多幅類似莫氏環的彩帶創作，其中的〈騎士〉結構（圖六）與莫氏環幾可亂真。艾薛爾在畫作中央大展其鑲補平面的手法，讓輪廓相同，但色彩與方向相異的隊伍巧妙地交織出完整的畫面。
（圖六）Ruiter（Horsemen，1946，木版畫，24 ×45
cm，攝自拼圖）
然而，若觀察兩旁騎士的隊伍，將發現原本在中央縱橫交錯的兩隊人馬，其實只是織帶上同一隊伍的正面與背面，也就是說，這條形似莫氏環的織帶仍保有正反雙面的本性。讀者可先取長紙條仿其結構黏貼，然後再畫線、剪環，看看與莫氏環的結果有何天壤之別？（詳見解答二）
在今年五月，遠哲趣味科學宅急便---發現科學與藝術的親密關係「非常有藝數」系列活動中，「吃裡扒外Möbius」的闖關設計除了莫氏環剪紙的體驗活動，還搭配〈騎士〉織帶結構的操作（圖七），磁環滑輪不斷循環的美妙感覺每每讓小朋友愛不釋手。
（圖七）新莊非常有藝數「類莫氏環」親體驗的闖關活動讓小朋友玩得不亦樂乎
你儂我儂小倆口
除了〈騎士〉與莫氏環等的小變化，艾薛爾還有極其複雜的創作。在〈聯結〉（圖七）版畫中，一條沒有頭尾的繃帶環繞成人形。細觀左右男女繃帶的空間位置，其結構彼此獨立，卻又相連相扣，互補成一體，無怪乎近來出版的新書《□□□》，封面主角選上了它。若將畫中繃帶間的距離拉開，那結構即與雲霄飛車的軌道設計相同。順著繃帶滑滑看，〈聯結〉的繃帶究竟是一面還是兩面？（詳見解答三）
（圖八）Band（Bond of Union，1956，26 ×34
cm，攝自拼圖）。
創意思考變變變
「∞」是現今數學上用以代表無限大的符號，何以躺下來的「8」字型會等於無限大的代言人？關於這個問題，有人說是因為夢想無限，所以要用睡姿來象徵，也曾聽說「∞」的左右兩端原本不是兩個圓圈，而是象徵愛情的兩個心型，由於心心相映的愛情力量極其崇高偉大，故成了「∞」的原始意像。
姑且不論是夢想無限的「臥8」，還是浪漫無限的「心心」，茶餘飯後，聽賞無妨，不過，筆者到有一想，那「∞」的圖像，不就如同莫氏環的結構一樣，「兩面一體」而循環不已？有機會不妨多拿幾張紙條，多轉幾圈，多剪幾環，箇中變化的創意無限，莫氏環的神奇奧妙等您親體驗！（詳見解答四）
【解答】
（一）在莫氏環上，九隻螞蟻頭尾相接，分不清究竟是誰帶隊，誰壓隊。
（二）「騎士環」的結構是將一端翻轉360°，黏貼後可使反面的OO與正面的OO相鄰。畫線後將發現該環仍保有兩個面（vs. 莫氏環只有一個面），而沿著腰部二分之一處的紅虛線剪開後，結果是兩個較窄的「騎士環」彼此相扣（vs. 莫氏環只得一個大環）。
（三）〈聯結〉的繃帶結構如同雲霄飛車的軌道，有兩面。艾薛爾尚有多幅與莫氏環有關的創作，請上網瀏覽欣賞http://www.mcescher.com/。
（四）翻轉數及剪開位置是莫氏環其他可探索的變化，如轉540°或改剪三分之一處（先用尺筆將紙條三等分），然後比較各種翻轉數及其不同剪開位置的結果，請讀者試之。
1.轉180°剪三分之一處得寬窄相同的大小兩環相扣，其轉圈數為1：4。
2.轉360°剪三分之一處得大小及轉圈數皆相同的兩環相扣，但寬窄為1：2。
3.轉540°剪二分之一處得打一結的大環；剪三分之一處得寬窄相同的大小兩環相扣，大環打有一結，小環轉540°。
沒有留言:
張貼留言